同样的弹簧公式为什么更新顺序会改变长期运动：规则练习第20例

离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置6、速度-3，弹簧常数2，步长1/2。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | 6/-3/81 | 6/-3/81 1 | 9/2/-9/243/2 | 3/2/-9/171/2 2 | 0/-27/2/729/4 | -15/4/-21/2/1107/8 3 | -27/4/-27/2/2187/8 | -57/8/-27/4/4707/32 4 | -27/2/-27/4/6561/16 | -111/16/3/8/12339/128 5 | -135/8/27/4/19683/32 | -105/32/117/16/38403/512 6 | -27/2/189/8/59049/64 | 129/64/339/32/246483/2048 7 | -27/16/297/8/177147/128 | 807/128/549/64/1254051/8192 8 | 135/8/621/16/531441/256 | 1905/256/291/128/3798387/32768 9 | 1161/32/351/16/1594323/512 | 2487/512/-1323/256/9685827/131072 10 | 189/4/-459/32/4782969/1024 | -159/1024/-5133/512/52720659/524288 11 | 2565/64/-1971/32/14348907/2048 | -10425/2048/-10107/1024/312983523/2097152 12 | 297/32/-6507/64/43046721/4096 | -30639/4096/-9789/2048/1130397363/8388608

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。